Малые свободные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Главные колебания

Колебания с несколькими степенями свободы.

Краткие сведения из теории.

Системами с п степенями свободы принято в динамике называть такие системы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент времени требуется задать п параметров, например положение (прогибы) п точек. Положение прочих точек определяется обычными статическими приемами.

Примером системы с п степенями свободы может служить балка или плоская рама, если массы ее отдельных частей или элементов условно (для облегчения динамического расчета) считаются сосредоточенными в п точках, или если она несет п больших масс (двигатели, моторы), по сравнению с которыми возможно пренебречь собственным весом элементов. Если отдельные сосредоточенные («точечные») массы могут при колебаниях совершать перемещения по двум направлениям, то число степеней свободы системы будет равно числу связей, которые следует наложить на систему, чтобы ликвидировать смещения всех масс.

Если вывести из равновесия систему с п степенями свободы, то она будет совершать свободные колебания , причем каждая «точка» (масса) будет совершать сложные полигармонические колебания типа:

Постоянные Аi и Вi зависят от начальных условий движения (отклонений масс от статического уровня и скоростей в момент времени t =0). Лишь в некоторых, особых, случаях возбуждения колебаний полигармоническое движение для отдельных масс может перейти в гармоническое, т.е. как в системе с одной степенью свободы:

Число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы.

Для вычисления собственных частот необходимо решить так называемый определитель частот, записываемый в таком виде:

Это условие в развернутом виде дает уравнение п -ой степени для определения п значений ω 2 , которое называется уравнением частот.

Через δ 11 , δ 12 , δ 22 и т.д. обозначены возможные перемещения. Так, δ 12 есть перемещение по первому направлению точки расположения первой массы от единичной силы, приложенной по второму направлению к точке расположения второй массы и т.д.

При двух степенях свободы уравнение частот получает вид:

Откуда для двух частот имеем:

В том случае, когда отдельные массы М i могут совершать в совокупности с линейными перемещениями также вращательные или только вращательные движения, то i -той координатой будет угол вращения, и в определителе частот массу

М i надлежит заменить моментом инерции массы J i ; соответственно возможные перемещения по направлению i -той координаты (δ i 2 , δ i 2 и т.д.) будут являтся угловыми перемещениями.

Если какая-либо масса будет совершать колебания по нескольким направлениям - i -му и k -му (например, по вертикальному и горизонтальному), то такая масса участвует в определителе несколько раз под номерами М i и М k и ей соответствует несколько возможных перемещений (δ ii , δ kk , δ ik , и т.д.).

Заметим, что каждой собственной частоте присуща своя особая форма колебаний(характер изогнутой оси, линии прогибов, перемещений и т.п.), которая отдельных, особых, случаях может оказаться действительной формой колебаний, если только надлежащим образом или возбуждены свободные колебания (надлежащий подбор импульсов, точек их приложения и т.п.). В этом случае колебания системы будут совершаться по законам движения системы с одной степенью свободы.

В общем случае, как это вытекает из выражения (9.1), система совершает полигармонические колебания, но, очевидно, что всякая сложная упругая линия, в которой отражается влияние всех собственных частот, может быть разложена на отдельные составляющие формы, каждая из которых соответствует своей собственной частоте. Процесс такого разложения истинной формы колебаний на составляющие (что необходимо при решении сложных задач строительной динами) носит название разложения по формам собственных колебаний.

Если в каждой массе, точнее – по направлению каждой степени свободы, приложить возмущающую силу, изменяющуюся по времени по гармоническому закону

или , что для дальнейшего безразлично, причем амплитуды сил при каждой масс различны, а частота и фаз одинаковы, то при продолжительном действии таких возмущающих сил система будет совершать установившееся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы. Амплитуды перемещений по направлению любой i -той степени в этом случае будет:

где определитель D записывается по (9.2) с заменой ω на θ и, следовательно, D≠0; D i определяется выражением:

т.е. i -й столбец определителя D заменяется столбцо, составленным из членом вида: Для случая двух степеней свободы: (9.6)

И соответственно

При расчете на вынужденные колебания балок постоянного сечения, несущих сосредоточенные массы (рис.9.1).

Проще, однако, пользоваться нижеуказанными формулами для амплитуд прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в любом сечении балки:

(9.7)

где y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – амплитуды прогиба, поворота, момента и поперечной силы начального сечения (начальные параметры); M i и J i - масса и ее момент инерции (сосредоточенные массы); знак ∑ распространяется на все силы и сосредоточенные массы, расположенные от начального сечения до обследуемого.

Указанными формулами (9.7) можно пользоваться и при вычислении собственных частот, для чего необходимо считать возмущающие силы ∑ Р i и моменты ∑ М i равными нулю, заменить частоту вынужденных колебаний θ частотой собственных колебаний ω и, предполагая существование колебаний (свободных колебаний), написать выражения (9.7) применительно к сечениям, где расположены сосредоточенные массы и уже известны амплитуды (опорные сечения, ось симметрии и т.д.). Получим систему однородных линейных уравнений. Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим возможность вычислить собственные частоты.

Целесообразным, оказывается использовать выражения (9.4) и (9.5) для определения амплитуд (y 0 , φ 0 , и т.п.) при х =0, а затем с помощью (9.7) вычислить все остальные элементы прогиба.

Более сложной является задача расчета движений системы с несколькими степенями свободы на действие произвольной нагрузки, изменяющейся во времени и приложенной к различным массам.

При решении такой задачи надлежит поступать следующим образом:

а) определить собственные частоты и формы собственных колебаний;

б) заданную нагрузку перегруппировать между массами или, как принято говорить, разложить по формам собственных колебаний. Число групп нагрузок равняется числу собственных частот системы;

в) после выполнения указанных выше двух вспомогательных операций сделать расчет для каждой группы нагрузок по известным формулам из теории колебаний системы с одной степенью свободы, причем частота собственных колебаний в этих формулах принимается та, которой соответствует данная группа нагрузки;

г) частные решения от каждой категории нагрузок суммируют, чем и определяется окончательное решение задачи.

Определение собственных частот выполняется согласно (9.2). Что касается выявления форм собственных колебаний, то здесь необходимо руководствоваться тем основным свойством любой формы собственных колебаний, что она представляет собой линию влияния прогиба от сил (число которых равно числу степеней свободы), пропорциональных произведению масс на ординаты прогибов точек прикрепления масс. При равных массах форма собственных колебаний представляет линию прогиба от сил, пропорциональных ординатам прогиба; эпюра нагрузки подобна эпюре прогиба.

Низшей частоте соответствует наиболее простая форма колебаний. Для балок чаще всего эта форма близко отвечает изогнутой оси системы под влиянием собственного веса. Если данная конструкция оказывается менее жесткой в каком-либо направлении, например в горизонтальном, то для выявления характера искомой изогнутой оси надлежит условно собственный вес приложить в этом направлении.

Теория свободных колебаний систем с несколькими степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены в § 21 одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат , имеет минимум при . Вводя малые смещения

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты и входят в (23,2) умноженными на одну и ту же величину , то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

(см. (5,5)), полагаем в коэффициентах и, обозначая постоянные посредством , получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов , получим:

Отсюда видно, что

Поэтому уравнения Лагранжа

(23,5)

Они представляют собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций в виде

где - некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (23,6) в систему (23,5), получаем по сокращении на систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

Уравнение (23.8) - так называемое характеристическое уравнение представляет собой уравнение степени s относительно Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (23,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у со мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат (23,6) (а с ними и скоростей ) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23,7) на и просуммировав затем по получим:

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов и , действительно,

Они также существенно положительны, а потому положительно

После того как частоты найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Если все корни характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты А пропорциональны минорам определителя (23,8), в котором и заменена соответствующим значением обозначим эти миноры через До. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23,5) имеет, следовательно, вид

где - произвольная (комплексная) постоянная.

Общее же решение даетбя суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

где мы ввели обозначение

(23,10)

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собрй наложение s простых периодических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (23,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (23,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами мы можем, разрешив эту систему, выразить величины через координаты . Следовательно, величины можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания - нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

(23,11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот т. е. имеет вид

(23,12)

где - положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23,9) обе квадратичные формы - кинетическая энергия (23,3) и потенциальная (23,2) одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь ) равенствами

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23,9), (23,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ) входят в виде одинаково преобразующихся сумм то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z, а кинетическая энергия

(m - масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда

и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами

В частном случае центрально-симметричного поля эти три частоты совпадают (см. задачу 3).

Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид

(23,15)

где лагранжева функция свободных колебаний.

Вводя вместо координат нормальные координаты, получим:

где введено обозначение

Соответственно уравнения движения

(23.17)

Задачи

1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее функция Лагранжа

Согласно (3.7), система уравнений при II =2 имеет вид:

Поскольку речь идет о свободных колебаниях, правая часть системы (3.7) принята равной нулю.

Решение ищем в виде

После подстановки (4.23) в (4.22) получим:

Эта система уравнений справедлива при произвольном t, поэтому выражения, заключенные в квадратные скобки, равны нулю. Тем самым получаем линейную систему алгебраических уравнений относительно Л и В.

Очевидное тривиальное решение этой системы Л = О, В = О согласно (4.23) отвечает отсутствию колебаний. Однако наряду с этим решением существует и нетривиальное решение Л * О, В Ф 0 при условии, что определитель системы А (к 2) равен нулю:

Этот определитель называют частотным , а уравнение относительно k - частотным уравнением. В раскрытом виде функция A(k 2) может быть представлена как

Рис. 4.5

При ЯцЯд - ^2 > ® и с п ^-4>0 график A (k 2) имеет вид параболы, пересекающей ось абсцисс (рис. 4.5).

Покажем, что для колебаний около устойчивого положения равновесия приведенные выше неравенства соблюдаются. П реобразусм выражение для кинетической энергии следующим образом:

При q , = 0 имеем Т = 0,5a .

Далее докажем, что корнями частотного уравнения (4.25) служат два положительных значения к 2 и к 2 (в теории колебаний меньшему индексу отвечает меньшая частота, т. е. k { С этой целью введем сначала понятие парциальной частоты. Под этим термином понимают собственную частоту системы с одной степенью свободы, полученной из исходной системы закреплением всех обобщенных координат, кроме одной. Так, например, если в первом из уравнений системы (4.22) принять q 2 = 0, то парциальной частотой будет p { =yjc u /a n . Аналогичным образом, закрепляя р 2 ~^с п /а 21 .

Чтобы частотное уравнение (4.25) имело два действительных корня к х и k 2 , необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, график функции А (к 2) при к = 0 имел бы положительную ординату, а во-вторых, чтобы он пересекал ось абсцисс. Случай кратных частот к { = к . } , а также обращение низшей частоты в нуль, здесь не рассматривается. Первое из этих условий соблюдается, поскольку д (0) = с„с 22 - с и > 0 В справедливости второго условия легко убедиться, подставив в зависимость (4.25) к = к = р 2 ; при этом А(р, 2) Информация такого рода при инженерном расчете облегчает прогнозы и оценки.

Полученным двум значениям частот к , и к 2 соответствуют частные решения вида (4.23), поэтому общее решение имеет следующую форму:

Таким образом, каждая из обобщенных координат участвует в сложном колебательном процессе, представляющем собой сложение гармонических движений с разными частотами, амплитудами и фазами (рис. 4.6). Частоты k t и к 2 в общем случае несоизмеримы, поэтому q v ц, не являются периодическими функциями.

Рис. 4.6

Отношение амплитуд свободных колебаний при фиксированной собственной частоте называют коэффициентом формы. Для системы с двумя степенями свободы коэффициенты формы (3.= BJA." определяются непосредственно из уравнений (4.24):

Таким образом, коэффициенты формы р,= В 1 /А [ и р.,= В.,/А., зависят только от параметров системы и не зависят от начальных условий. Коэффициенты формы характеризуют для рассматриваемой собственной частоты к. распределение амплитуд по колебательной цепи. Совокупность этих амплитуд образует так называемую форму колебаний.

Отрицательное значение коэффициента формы означает, что колебания находятся в противофазах.

При использовании стандартных программ на ЭВМ иногда используют нормированные коэффициенты формы. Под этим термином понимают

В коэффициенте р‘ г индекс i отвечает номеру координаты, а индекс г- номеру частоты. Очевидно, что или Легко заметить, что р*

В системе уравнений (4.28) оставшиеся четыре неизвестных А г А 2 , ос, сх 2 определяются с помощью начальных условий:

Наличие линейной силы сопротивления так же, как и в системе с одной степенью свободы, приводит к затуханию свободных колебаний.

Рис. 4.7

Пример. Определим собственные частоты, парциальные частоты и коэффициенты формы для колебательной системы, показанной на рис. 4.7,а. Принимая в качестве обобщенных координат абсолютные перемещения масс.г, = q v x 2 = q. r запишем выражения для кинетической и потен циальной энергий:

Таким образом,

После подстановки в частотные уравнения (4.25) получаем

При этом Согласно (4.29)

На рис. 4.7, б приведены формы колебаний. При первой форме колебаний массы перемещаются синхронно в одном направлении, а при второй - встречно. Кроме того, в последнем случае появилось сечение N, не участвующее в колебательном процессе с собственной частотой k r Это так называемый узел колебаний.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 531.8:621.8

Д.М.Кобылянский, В.Ф.Горбунов, В.А.Гоголин

СОВМЕСТИМОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И КОЛЕБАНИЙ ТЕЛ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим плоское тело Т, на которое наложены три идеальные связи, препятствующие только перемещениям тела по всем направлениям, как показано на рис.1а. Связями являются точки А, В, С, расположенные в вершинах равностороннего треугольника. Выбрав систему координат так, чтобы ее центр совпадал с центром треугольника и был совмещен с ним (рис.1а), имеем координаты связей: А(0;Я), Б(^л/3 /2; -Я/2), С^-Лд/э /2; -Я/2), где Я есть расстояние от центра треугольника до его вершин, то есть радиус окружности проходящей через точки А, В, С. В таком положении тело будет иметь одну степень свободы, только в том случае, если нормали к ее границе в точках А, В, С пересекаются в одной точке, которая будет мгновенным центром скоростей. В противном случае число степеней свободы тела равно нулю и оно не может не только поступательно перемещаться, но и совершать вращательное движение. Когда тело имеет одну степень свободы, оно может начать вращение с мгновенным центром вращения в точке пересечения указанных выше нормалей. Пусть эта точка будет началом координат, точкой О. Если мгновенный центр вращения не изменяет своего положения, то единственно возможная форма тела Т -круг радиуса Я с центром в точке О.

Возникает задача - существуют ли другие формы тела, позволяющие ему вращаться относительно некоторого подвижного центра так, чтобы гра-

ница тела непрерывно проходила через три точки А, В, С без нарушения этих связей? В известной нам литературе такая задача не рассматривалась и по-видимому решается впервые.

Для решения этой задачи рассмотрим сначала движение треугольника АВС как жесткого тела, относительно системы координат Х1О1У1, связанной с телом Т (рис.1б). Тогда, если движение треугольника происходит так, что его вершины непрерывно остаются на границе тела при полном повороте треугольника на 360°, то и обратно тело будет совершать требуемое движение относительно неподвижного треугольника АВС и связанной с ним системы координат ХОУ.

Движение треугольника АВС зададим как поворот относительно центра О и перемещения центра О по оси ОіХі на/(г), по оси ОіУі на g(t). Тогда параметрическое уравнение траектории точки А будет иметь вид: х=гяШ +/(г) ; уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Так как при г=0 точка О должна совпадать с точкой О1, то должно выполнятся условие /(0)= g(0)=0. Потребуем, чтобы при повороте на угол г=2п/3 точка А совпадет с точкой В1, точка В - с точкой Сі, а точка С

С точкой А1. При повороте на угол г=4п/3 точка А должна перейти в точку С1, точка В - в точку А1, а точка С - в точку В1. Объединение данных требований на движение вершин треугольника приводит к условиям на значения функций перемещения центра вращения /(0)=/(2 п/3)=/(4 п/3)=0; g0)=g(2л/3)=g(4л/3)=0 . (2) Условиям (2) удовлетворяет широкий класс функций, в частности функции вида sin(3mt/2), где т целое, и их линейные комбинации с переменными в общем случае коэффициентами вида:

Н (г) = ^ Ьт (г) 8Іп(3тґ / 2)

Кроме того, в качестве

Рис.1. Расчетная схема: а) - положение неподвижного тела и его связей в системе ХОУ; б) - положение неподвижной системы Х1О1У1, связанной с телом, и подвижной системы ХОУ, связанной с треугольником АВС

Теоретическая механика

Рис.2. Формы тел и траектории движения их центров вращения

Рис. 3. Положение тела при повороте на угол ри соответствующая траектория движения его центра вращения

функций перемещения могут быть взяты функции, определяющие замкнутые кривые, такие например, как циклоиды, трохоиды, лемнискаты, с подходящими по условию (2) параметрами. При этом все возможные функции должны быть периодическими с периодом 2п/3.

Таким образом, система параметрических уравнений (1) с условиями на значения функций /(^, g(t) (2) или в их виде (3) дает искомое уравнение границы тела Т. На рис.2 представлены примеры возможных форм тела, удовлетворяющих условиям поставленной задачи. В центре каждого рисунка показана траектория центра вращения О1, а точечные связи А, В, С увеличены для их лучшей визуализации. Эти примеры показывают, что даже простые виды функций из класса, определяемого выражением (3) с постоянными коэффициентами, дают нам достаточно широкий набор кривых, описывающих границы тел, совершающих вращение и

колебания одновременно при наличии только одной степени свободы. Граничные кривые а), в) на рис.2 соответствуют перемещению центра вращения только по горизонтальной оси

ОіХі по гармоническому закону, и как видно имеют две оси симметрии и могут быть как чисто выпуклыми, овальными (рис. 2а), так и сочетать выпуклость с вогнутостью (рис.2б). При вертикальном и горизонтальном гармоническом законе с одинаковой амплитудой перемещения центра вращения граничные кривые теряют симметричность (рис. 2 в,г). Существенное влияние частоты гармонических колебаний на форму граничной кривой тела показано на рис.2 д, е. Не проводя в данной работе полный анализ влияния амплитуды и частоты на форму и геометрические свойства граничных кривых, хотелось отметить, что представленные примеры на рис.2 уже показывают возможность решения технических задач по выбору нужной формы

тела для совмещения его вращательного движения с колебаниями в плоскости вращения.

Рассматривая теперь перемещение тела относительно неподвижной системы координат ХОУ, связанной с треугольником АВС, то есть переходя из системы координат Х1О1У1 в систему координат ХОУ, получим следующие параметрические уравнения граничной кривой тела при заданном угле поворота p x=cosp-

Cos p (4)

или с учетом уравнений (1) уравнения (4) принимают вид x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Cos p.

Уравнения (5) позволяют описать траекторию любой точки тела по ее заданным поляр-

t-g.i м*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. д-0

Рис. 4. Варианты форм тел с различным числом связей, обеспечивающие совместность вращения и колебания тел

ным координатам R,t. В частности при R=0, t=0 имеем точку, совпадающую с началом координат Оь то есть центр вращения, траектория движения которого в рассматриваемой схеме описывается уравнениями, следующими из (5):

*0 = -f (ф) cos ф + g (ф) sin ф, y0 = - f (ф) sin ф- g (ф) cos р.

На рис.3 показан пример положений тела (рис.2б) при его повороте на угол ф, а в центре каждого рисунка показана траектория центра вращения

Оі , соответствующая повороту тела на этот угол. Технически несложно сделать анимацию

показанного движения тела на рис.3 вместо физической модели, однако рамки журнальной статьи могут это позволить только в электронном варианте. Показанный пример был все-таки

Обобщением рассмотренной задачи является система п идеальных связей в виде точек, расположенных в вершинах правильного «-угольника, препятствующих только поступательным перемещениям тела. Поэтому, как и в случае с треугольником, тело может начать совершать поворот относительно центра вращения, являющегося точкой пересечения нормалей к границе тела в точках связи. В этом случае уравнение траектории точки тела А, находящейся на оси ОУ, и отстоящей от центра вращения на расстоянии Я, будет иметь такой же вид как и (1). Условия на значения функций перемещения центра вращения (2) в этом случае примут

Кобылянский Горбунов

Дмитрий Михайлович Валерий Федорович

Аспирант каф. стационарных и - докт. техн. наук, проф. каф. ста-

транспортных машин ционарных и транспортных машин

f(2kп/п)=g(2kп/п)=0. (7)

Условию (7) соответствуют периодические функции с периодом 2п/п, например 8т(п-т4/2), а также их линейные комбинации вида (3) и другие функции, описывающие замкнутые кривые. Аналогичные, указанным выше, рассуждения приводят к тем же уравнениям (4-6), позволяющим рассчитать форму тела, его положения при повороте и траекторию центра вращения при согласованных с вращением колебаниях тела. Примером таких расчетов служит рис.4, на котором пунктирной линией показано начальное положение тел, сплошной линией - положение тел при повороте на угол л/3 , а в центре каждого рисунка полная траектория центра вращения при полном повороте тела. И хотя в этом примере рассмотрено только горизонтальное перемещение центра вращения О, как центра п-угольника, полученные результаты показывают широкий спектр возможных форм тела с одной степенью свободы, сочетающего вращательное движение с колебаниями при наличии четырех, пяти и шести связей.

Полученная методика расчета совместности движений вращения и колебания тел с одной степенью свободы может также быть без каких-либо дополнений использована и для пространственных тел, у которых запрещены перемещения по третьей координате и повороты в других координатных плоскостях.

Гоголин Вячеслав Анатольевич

Докт. техн. наук, проф. каф. прикладной математик и