для студентов 2 курса всех специальностей
Кафедра Высшей математики
Уважаемые студенты!
Вашему вниманию предлагается обзорная (установочная) лекция профессора Н.Ш.Кремера по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов второго курса ВЗФЭИ.
В лекции обсуждаются задачи изучения теории вероятностей и математической статистики в экономическом вузе и ее место в системе подготовки современного экономиста, рассматривается организация самостоятельной работы студентов с использованием компьютерной обучающей системы (КОПР) и традиционных учебников, даются обзор основных положений данного курса, а также методические рекомендации по ее изучению.
Среди математических дисциплин, изучаемых в экономическом вузе, теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономерностей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математическая статистика имеет важное методологическое значение в познавательном процессе , при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служит логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.
Каждый студент второго курса должен иметь следующий набор (кейс) по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»:
1. Обзорную установочную лекцию по данной дисциплине.
2. Учебник Н.Ш. Кремера «Теория вероятностей и математическая статистика» – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007 (в дальнейшем будем называть просто «учебник»).
3. Учебно-методическое пособие «Теория вероятностей и математическая статистика»/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Вузовский учебник, 2005 (в дальнейшем «пособие»).
4. Компьютерную обучающую программу КОПР по дисциплине (в дальнейшем – «компьютерная программа»).
На сайте института на странице «Корпоративные ресурсы» размещены интернет-версии компьютерной программы КОПР2, обзорной установочной лекции и электронной версии пособия. Кроме того, компьютерная программа и пособие представлены на CD - ROM ах для студентов второго курса. Поэтому в «бумажном виде» студенту необходимо иметь лишь учебник.
Поясним назначение каждого из учебно-методических материалов, входящий в указанный набор (кейс).
В учебнике изложены основные положения учебного материала дисциплины, иллюстрируемые достаточно большим числом решенных задач.
В пособии даны методические рекомендации по самостоятельному изучению учебного материала, выделены наиболее важные понятия курса и типовые задачи, даны контрольные вопросы для самопроверки по данной дисциплине, приведены варианты домашних контрольных работ, которые должен выполнить студент, а также методические указания по их выполнению.
Компьютерная программа призвана оказать Вам максимальную помощь в усвоении курса в режиме диалога программы со студентом с тем, чтобы в наибольшей степени восполнить отсутствие у Вас аудиторных занятий, соответствующего контакта с преподавателем.
Для студента, обучающегося по системе дистанционного обучения, первостепенное, определяющее значение имеет организация самостоятельной работы.
Приступая к изучению данной дисциплины, прочтитедо конца настоящую обзорную (установочную) лекцию. Это позволит Вам получить в целом представление об основных понятиях и методах, используемых в курсе «Теория вероятностей и математическая статистика», и требованиях, предъявляемых к уровню подготовки студентов ВЗФЭИ.
Перед изучением каждой темы ознакомьтесь с методическими рекомендациями к изучению данной темы по пособию. Здесь Вы найдете перечень учебных вопросов данной темы, которые Вам предстоит изучить; выясните, какие понятия, определения, теоремы, задачи являются наиболее важными, которые надо изучить и освоить в первую очередь.
Затем перейдите к изучению основного учебного материала по учебнику в соответствии с полученными методическими рекомендациями. Советуем конспектировать в отдельной тетради основные определения, формулировки теорем, схемы их доказательств, формулы и решения типовых задач. Формулы целесообразно выписывать в специальные таблицы для каждой части курса: теория вероятностей и математическая статистика. Регулярное пользование конспектом, в частности, таблицами формул, способствует их запоминанию.
Лишь после проработки основного учебного материала каждой темы по учебнику можно перейти к изучению этой темы с помощью компьютерной обучающей программы (КОПР2).
Обратите внимание на структуру построения компьютерной программы по каждой теме. После названия темы приводится перечень основных учебных вопросов темы по учебнику с указанием номеров параграфов и страниц, которые необходимо изучить. (Напомним, что перечень этих вопросов по каждой теме приведен также и в пособии).
Затем в краткой форме дается справочный материал по данной теме (или по отдельным параграфам этой темы) – основные определения, теоремы, свойства и признаки, формулы и т.п. В процессе изучения темы Вы также можете вызвать на экран те фрагменты справочного материала (по данной или предыдущим темам), которые необходимы в данный момент.
Затем Вам предлагается учебный материал и обязательно типовые задачи (примеры), решение которых рассматривается в режиме диалога программы со студентом. Функции ряда примеров ограничиваются выводом на экран по запросу обучаемого этапов правильного решения. Вместе с тем в процессе рассмотрения большинства примеров Вам будут задаваться вопросы того или иного характера. В качестве ответов на одни вопросы следует вводить с клавиатуры числовой ответ, на другие – выбирать правильный ответ (или ответы) из нескольких предложенных.
В зависимости от введенного Вами ответа программа подтверждает его правильность или предлагает, ознакомившись с подсказкой, содержащей необходимые теоретические положения, вновь попытаться дать правильные решение и ответ. Во многих заданиях установлено ограничение на количество попыток решения (при превышении этого ограничения на экран обязательно выводится правильный ход решения). Имеются и такие примеры, в которых количество информации, содержащееся в подсказке, возрастает по мере повторения неудачных попыток ответа.
После ознакомления с теоретическими положениями учебного материала и примерами, которые снабжены подробным разбором решения, Вы должны выполнить упражнения для самоконтроля, чтобы закрепить навыки решения типовых задач по каждой теме. Задания для самоконтроля также содержат элементы диалога со студентом. По завершению решения Вы можете ознакомиться с правильным ответом и сравнить его с тем, который Вы дали.
В завершение работы по каждой теме следует выполнить контрольные задания. Правильные ответы на них Вам не выводятся, а Ваши ответы записываются на жесткий диск компьютера для последующего ознакомления с ними преподавателя-консультанта (тьютора).
После изучения тем 1–7 Вы должны выполнить домашнюю контрольную работу № 3, а после изучения тем 8–11 – домашнюю контрольную работу № 4. Варианты указанных контрольных работ приведены в пособии (его электронной версии). Номер выполняемого варианта должен совпадать с последней цифрой номера Вашего личного дела (зачетной книжки, студенческого билета). По каждой контрольной работе Вы должны проходить собеседование, на котором необходимо показать умение решать задачи и знание основных понятий (определений, теорем (без доказательства), формул и т.п.) по теме контрольной работы. Завершается изучение дисциплины курсовым экзаменом.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Предлагаемая для изучения дисциплина состоит из двух разделов «Теория вероятностей» и «Математическая статистика».
Основы теории вероятностей и математической статистики
Основы теории вероятностей и математической статистики Основные понятия теории вероятностей Предметом изучения теории вероятностей являются количественные закономерности однородных случайных явлений массового характера. Определение 1. Событием называется всякий возможный факт, о котором можно сказать, что он произойдет или не произойдет в данных условиях. Пример. Готовые ампулы, сошедшие с конвейера, могут оказаться либо стандартными, либо нестандартными. Один (любой) исход из указанных двух возможных называются событием. Различают три вида событий: достоверные, невозможные и случайные. Определение 2. Достоверным называют то событие, которое при соблюдении некоторых условий не может не произойти, т.е. обязательно произойдет. Пример. Если в урне содержатся только белые шары, то взятый наудачу из урны шар будет обязательно белый. В данных условиях факт появления белого шара будет достоверным событием. Определение 3. Невозможным называют то событие, которое при соблюдении некоторых условий не может произойти. Пример. Нельзя извлечь белый шар из урны, содержащей только черные шары. В этих условиях факт появления белого шара будет невозможным событием. Определение 4. Случайным называют событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, но может и не произойти. Пример. Монета, брошенная вверх, может упасть так, что на ее верхней стороне окажется либо герб, либо цифра. Здесь появление сверху той или другой стороны монеты является случайным событием. Определение 5. Испытание - совокупность тех условий или действий, которые могут быть повторены бесконечное число раз. Пример. Подбрасывание монеты вверх - испытание, а возможный результат, т.е. выпадение на верхней стороне монеты либо герба, либо цифры является событием. Определение 6. Если события A i таковы, что при некотором данном испытании может произойти только одно из них и никаких других, не входящих в совокупность, то эти события называются единственно возможными. Пример. В урне лежат белые и черные шары и никаких других. Взятый наугад один шар может оказаться белым или черным. Эти события являются единственно возможными, т.к. появление шара другой окраски при данном испытании исключено. Определение 7. Два события A и B называются несовместными, если при данном испытании они не могут произойти вместе. Пример. Герб и цифра являются единственно возможными и несовместимыми событиями при однократном бросании монеты. Определение 8. Два события A и B называются совместными (совместимыми) при данном испытании, если появление одного из них не исключает возможность появления другого события при том же испытании. Пример. Возможно совместное появление орла и цифры при одном бросании двух монет. Определение 9. События A i называются равновозможными в данном испытании, если в силу симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным по сравнению с другими. Пример. Появление любой грани при одном бросании игральной кости является равновозможным событием (при условии, если кость сделана из однородного материала и имеет форму правильного шестигранника). Определение 10. События называются благоприятствующими (благоприятными) некоторому событию, если появление одного из этих события влечет появление данного события. Случаи, исключающие появление события, называются неблагоприятствующими этому событию. Пример. В урне имеется 5 белых и 7 черных шаров. При взятии наугад одного шара, в руках может оказаться или белый или черный шар. В данном случае появление белого шара благоприятствует 5 случаев, а появлению черного шара 7 случаев из общего количества 12 возможных случаев. Определение 11. Два единственно возможных и несовместимых событий называют противоположными друг другу. Если одно из этих событий обозначено A , то противоположное ему событие обозначают символом Ā. Пример. Попадание в цель и промах; выигрыш и проигрыш по билету лотереи - все это примеры противоположных событий. Определение 12. Если в результате какой-либо массовой операции, состоящей из n сходных между собой единичных опытов или наблюдений (испытаний), некоторое случайное событие появится m раз, то число m называют частотой случайного события, а отношение m / n называется его частостью. Пример. Среди первых 20 изделий, сошедших с конвейера, оказалось 3 изделия нестандартных (брак). Здесь число испытаний n =20, частота брака m =3, частость брака m / n = 3/20 = 0,15. Всякое случайное событие в заданных условиях имеет свою объективную возможность появления, причем у одних событий эта возможность появления больше, у других - меньше. Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их наступления с каждым случайным событием связывают некоторое действительное число, выражающего количественную оценку степени объективной возможности наступления данного события. Это число называют вероятностью события. Определение 13. Вероятность некоторого события есть числовая мера объективной возможности наступления этого события. Определение 14. ( Классическое определение вероятности ). Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих наступлению этого события, к числу n всех возможных случаев, т.е. Р(А) = m / n . Пример. Урна содержит 5 белых и 7 черных шаров, тщательно перемешанных. Какова вероятность того, что взятый наудачу из урны один шар окажется белым? Решение. В данном испытании имеется всего 12 возможных случаев, из них 5 благоприятствуют появлению белого шара. Поэтому вероятность появления белого шара Р=5/12. Определение 15. ( Статистическое определение вероятности ). Если при достаточно большом числе повторных испытаний по отношению к некоторому событию А будет замечено, что частость события колеблется около некоторого постоянного числа, то событие А имеет вероятность Р(А), приближенно равную частости, т.е. Р(А)~ m / n . Частость события при неограниченном числе испытаний называют статистической вероятностью. Основные свойства вероятности. 1 0 Если событие А влечет за собой событие В (А В), то вероятность события А не превосходит вероятности события В. Р(А)≤Р(В) 2 0 Если события А и В равносильны (А B , В А, В=А), то их вероятности равны Р(А)=Р(В). 3 0 Вероятность любого события А не может быть отрицательным числом, т.е. Р(А)≥0 4 0 Вероятность достоверного события равна 1. Р( )=1. 5 0 Вероятность невозможного события равна 0. Р( )=0. 6 0 Вероятность любого случайного события А заключена между нулем и единицей 0<Р(А)<1 Основные формулы комбинаторики Определение 1 . Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов ( m , n ), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами. Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов ( m ≤ n ) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a , b и c по два будут следующие соединения: ab , ac , bc , ca , cb , ba . Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А n m = n ( n -1)( n -2)·....·( n - m +1). Пример. А 10 4 =10·9·8·7=5040. Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р n =А n n = n ( n -1)( n -2)...·3·2·1= n ! По определению 0!=1. Пример. Р 5 =5!=1·2·3·4·5=120. Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов: C n m === Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре. Решение. C 10 4 ==210. Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17. Решение. ==1040. Теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема 1 . Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В ). Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным? Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4. Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )+ P ( AB ). Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты. Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P ( A )=8/15, и вероятность события B равна P ( B )=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A ), то вероятность появления события B при втором испытании будет P ( B )=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P ( B )=6/14=3/7. Определение 3. Вероятность события B , вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A , называется условной вероятностью события B и обозначается PA ( B ). Теорема 3 . Вероятность совместного наступления двух зависимых событий ( A и B ) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P ( AB )= P ( A )· P A ( B )= P ( B )· P B ( A ). Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили: P(A 1 A 2 A 3 ...A k )=P(A 1 )·P A1 (A 2 )·P A1A2 ·P(A 3 )...·P A1A2…A k-1 (A k ) Теорема 5 . Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P ( AB )= P ( A )· P ( B ). Теорема 6 . Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A 1 , A 2 , ... A k равна произведению их вероятностей, т.е. P ( A 1 A 2 ... A k )= P ( A 1 )· P ( A 2 )·...· P ( A k ). Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени? Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A ) равна P ( A )=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B ) равна P ( B )=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P ( AB )= P ( A ) P ( B )=0,8·0,7=0,56. Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94. 5.3.3. Формула полной вероятности Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A 1 , A 2 ,..., A k , и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A 1 , A 2 ,..., A k называют полной группой событий. Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P ( A 1 )+ P ( A 2 )+...+ P ( A k )=1. Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A )+ P ( A )=1. Если вероятность одного события обозначим через p , вероятность противоположного ему события обозначим через q , тогда p + q =1. Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания. Решение . Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p =0,94, то q =1- p =1-0,94=0,06. Теорема 8 . Если случайные события A 1 , A 2 ... A n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A n )P A n (B) Это равенство называется формулой полной вероятности . Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I -го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком? Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A 1 ), или из продукции II цеха (событие A 2 ), или из продукции III цеха (событие A 3 ). Вероятности этих событий будут: P ( A 1 )=0,30; P ( A 2 )=0,45; P ( A 3 )=0,25. Вероятность того, что изделие с браком (событие B ) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P A 1 ( B ). Она равна P A 1 ( B )=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P A 2 ( B )=0,004 и из продукции III цеха P A 3 ( B )=0,0016. Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A 3 )P A3 (B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004. Формула Бернулли Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A . Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p , а вероятность появления противоположного события Ā, есть q . Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: P m , n = p m q n - m , так как, то P m , n = · p m · q n - m Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка? Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n =5, m =3, p =0,8 и q =1-0,8=0,2: P 3,5 = (0,8) 3 ·(0,2) 2 =0,2084. Асимптотическая формула Пуассона В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность Р появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний . При этих условиях для вычисления вероятности Р m , n появление события m раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона : Р m,n ≈e -a , где a=np Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных? Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, m =3, следовательно, a = np =400·0,005=2. Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона Р m , n (3,400) = 0,1804. Случайные величины и их числовые характеристики Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения. Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x i и вероятности их принятия p i . Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины – многоугольник распределения . Числовые характеристики дискретной случайной величины. 1) Математическое ожидание. Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности: M ( X ) = μ = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ x n p n = . Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки: Свойства математического ожидания. 1 0 Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M ( C )= C . 2 0 Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M ( X 1 ± X 2 ±...± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ±…± M ( X n ). 3 0 Константу можно вынести за знак математического ожидания M ( CX )= CM ( X ). 4 0 Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M ( X 1 X 2 ... X n ) = M ( X 1 ) M ( X 2 )... M ( X ) n . 2) Дисперсия дискретной случайной величины. Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. D ( X ) = M {[ X - M ( X )] 2 } = , где M ( X ) = μ Для вычисления дисперсии более удобна формула: D ( X )= M ( X 2 )-[ M ( X )] 2 , т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания. Свойства дисперсии. 1 0 Дисперсия постоянной величины равна нулю D (С) = 0. 2 0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( CX ) = C 2 D ( X ). 3 0 Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X 1 +...+ X n ) = D ( X 1 )+...+ D ( X n ). 4 0 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D ( X - Y )= D ( X )+ D ( Y ). 3). Среднее квадратическое отклонение Определение 5 . Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ ( X )=. Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: M ( x )=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения. [ x 1 - M ( x )] 2 =(1-2,3) 2 =1,69 [ x 2 - M ( x )] 2 =(2-2,3) 2 =0,09 [ x 3 - M ( x )] 2 =(5-2,3) 2 =7,29 Напишем закон распределения квадрата отклонения Найдем дисперсию: D ( x )=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F ( x ), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x , т.е. F ( x )= P ( X < x ). Свойства интегральной функции распределения 1 0 Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤ F ( x ) ≤1. 2 0 Функция распределения есть неубывающая функция. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( a , b ), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P ( a < x < b )= F ( b )- F ( a ). Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P ( X = x 1 )=0. 3 0 Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ( a , b ), то F ( x )=0 при x ≤ a и F ( x )=1 при x ≥ a . Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f ( x )= F "( x ). Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу ( a , b ), определяется равенством: P ( a < x < b )== F ( b )- F ( a )Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F ( x )= Свойства дифференциальной функции распределения 1 0 Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f ( x ) ≥0 2 0 Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): . 1) Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X , возможные значения которой прина д лежат отрезку ( a , b ), называется опр е деленный интеграл: M ( X ) = , где f ( x )-плотность вероятности случайной величины X . 2) Дисперсия. Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{ 2 }.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку ( a ; b ), то D ( x )= или D ( x )= 3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ ( x ) = Пример. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией F ( x )= Решение. Найдем дифференциальную функцию: f ( x )= F ’ ( x )= Выислим математическое ожидание M ( x ) = . Найдем искомую дисперсию D ( x ) = = = 2/4=4/3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой: , где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение. Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: . Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ ( x ) значения для отрицательных чисел легко определить φ (- x )= φ ( x ). Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ =3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X . Решение. f ( x )= Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал ( a , b ) определяется следующим о б разом: P(aСловосочетание «теория вероятности» вызывает у неподготовленного студента панику. Действительно, воображение рисует картины, где фигурируют страшные объемные формулы, а решение одной задачи занимает целую тетрадь. Однако на практике всё вовсе не так ужасно: достаточно один раз понять смысл некоторых терминов и вникнуть в суть несколько своеобразной логики рассуждений, чтобы перестать бояться заданий раз и навсегда. В связи с этим мы рассмотрим основные понятия теории вероятностей и математической статистики - молодой, но крайне интересной области знаний.
Функция языка - передавать информацию от одного человека к другому так, чтобы он её понял, осознал и смог использовать. Каждое математическое понятие можно объяснить простыми словами, но в этом случае акт обмена данными занимал бы значительно больше времени. Представьте, что вместо слова «гипотенуза» вам всегда бы пришлось говорить «самая длинная сторона прямоугольного треугольника» - это крайне неудобно и долго.
Потому люди и придумывают новые термины для тех или иных явлений, процессов. Основные понятия теории вероятностей - событие, вероятность события и т. д. - появились точно так же. А значит, чтобы использовать формулы, решать задачи и применять навыки в жизни, необходимо не просто запомнить новые слова, но и понять, что означает каждое из них. Чем более глубоко вы осознаете их, вникаете в смысл, тем шире становятся рамки ваших возможностей, и тем полнее вы воспринимаете окружающий мир.
Познакомимся с основными понятиями теории вероятностей. Классическое определение вероятности звучит следующим образом: это отношение устраивающих исследователя исходов к общему числу возможных. Приведем простой пример: когда человек бросает кубик, тот может выпасть любой из шести сторон кверху. Таким образом, общее число исходов - шесть. Вероятность же того, что выпадет случайно выбранная сторона - 1/6.
Умение предсказывать появление того или иного результата является крайне важным для самых разных специалистов. Сколько бракованных деталей ожидается в партии? От этого зависит, сколько нужно произвести. Какова вероятность, что лекарство поможет побороть болезнь? Такая информация и вовсе является жизненно важной. Но не будем тратить время на дополнительные примеры и приступим к изучению новой для нас области.
Рассмотрим основные понятия теории вероятности и их использование. В праве, естественных науках, экономике представленные ниже формулы и термины используются повсеместно, поскольку имеют непосредственное отношение в статистике и погрешности измерений. Более подробное изучение этого вопроса откроет вам и новые формулы, полезные для более точных и сложных вычислений, однако начнем с простого.
Одним из самых базовых и основных понятий теории вероятностей и математической статистики является случайное событие. Объясним понятными словами: из всех возможных исходов эксперимента в результате наблюдается лишь один. Даже если вероятность наступления этого события значительно выше, чем другого, оно будет случайным, так как теоретически итог мог быть и иным.
Если мы провели серию экспериментов и получили некоторое количество исходов, то вероятность каждого из них рассчитывается по формуле: P(A) = m/n. Здесь m - это то, сколько раз в серии испытаний мы наблюдали появление интересующего нас результата. В свою очередь n - это общее количество проведенных экспериментов. Если мы бросили монетку 10 раз и 5 раз получили «решку», то m=5, а n=10.
Случается, что некоторый исход гарантированно наблюдается в каждом испытании - такое событие будет называться достоверным. Если оно не будет происходить никогда, то будет называться невозможным. Впрочем, такие события не используются в условиях задач по теории вероятности. Основные понятия, которые знать гораздо важнее - это совместные и несовместные события.
Случается, что при проведении эксперимента одновременно происходит сразу два события. Например, мы бросаем два кубика - в данном случае то, что на одном выпало «шесть», не гарантирует того, что на втором не выпадет другая цифра. Такие события будут называться совместными.
Если мы кидаем один кубик, то две цифры одновременно выпасть не смогут никогда. В данном случае исходы в виде выпавшей «единицы», «двойки» и т. д. будут рассматриваться как несовместные события. Очень важно различать, какие исходы имеют место в каждом конкретном случае - от этого зависит, какие формулы применять в задаче на нахождение вероятностей. Основные понятия теории вероятностей мы продолжим изучать спустя несколько абзацев, когда рассмотрим особенности сложения и умножения. Ведь без них ни одну задачу решить не удастся.
Допустим, вы с другом бросаете кубик, и у него выпало «четыре». Вам, чтобы победить, необходимо получить «пять» или «шесть». В этом случае вероятности будут суммироваться: поскольку шансы выпадения обоих чисел равны 1/6, ответ будет выглядеть как 1/6 + 1/6 = 1/3.
А теперь представьте, что вы бросаете кубик по два раза, и ваш друг получил 11 очков. Теперь вам необходимо, чтобы два раза подряд выпало «шесть». События независимы друг от друга, поэтому вероятности понадобится перемножить: 1/6 * 1/6 = 1/36.
Среди основных понятий и теорем теории вероятностей следует обратить внимание на сумму вероятностей совместных событий, т. е. тех, которые могут происходить одновременно. Формула сложения в этом случае будет выглядеть так: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Очень часто нам требуется найти все возможные сочетания некоторых параметров объекта или вычислить количество каких-либо комбинаций (например, при подборе шифра). В этом нам поможет комбинаторика, теснейшим образом связанная с теорией вероятности. Основные понятия здесь включают некоторые новые слова, а ряд формул из этой темы вам наверняка пригодится.
Допустим, у вас есть три цифры: 1, 2, 3. Вам надо, используя их, написать все возможные трёхзначные числа. Сколько их будет? Ответ: n! (восклицательный знак означает факториал). Комбинации из некоторого количества разных элементов (цифр, букв и проч.), отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками.
Однако гораздо чаще мы сталкиваемся с такой ситуаций: имеется 10 цифр (от нуля до девяти), из которых составляется пароль или код. Предположим, его длина - 4 символа. Как рассчитать общее количество возможных кодов? Для этого существует специальная формула: (n!)/(n - m)!
Учитывая предложенное выше условие задачи, n=10, m=4. Далее требуются только простые математические расчёты. Кстати, называться такие комбинации будут размещением.
Наконец, существует понятие сочетаний - это последовательности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Высчитывается их число по формуле: (n!) / (m!(n-m)!).
Важным понятием, с которым сталкивается студент уже на первых занятиях по предмету, является математическое ожидание. Оно представляет собой сумму всех возможных результирующих значений, помноженных на их вероятности. По сути, это среднее число, которое мы можем предсказать в качестве результата испытания. Например, есть три значения, для которых в скобках указаны вероятности: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Посчитаем математическое ожидание: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Таким образом, из предложенного выражения можно увидеть, что данная величина является постоянной и не зависит от исхода испытания.
Это понятие используется во многих формулах, и вы неоднократно с ним столкнетесь в дальнейшем. Работать с ним несложно: математическое ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий - M(X+Y) = M(X) + M(Y). То же касается и произведения: M(XY) = M(X) * M(Y).
Должно быть, со школьного курса физики вы помните, что дисперсия - это рассеяние. Каково её место среди основных понятий теории вероятностей?
Посмотрите на два примера. В одном случае нам дано: 10(0,2); 20(0,6); 30(0,2). В другом - 0(0,2); 20(0,6); 40(0,2). Математическое ожидание в обоих случаях будет одинаковое, как же тогда сравнивать эти ситуации? Ведь мы видим невооруженным глазом, что разброс значений во втором случае значительно больше.
Для этого и было введено понятие дисперсии. Чтобы получить её, необходимо рассчитать математическое ожидание от суммы разностей каждой случайной величины и математического ожидания. Возьмём числа из первого примера, записанного в предыдущем абзаце.
Сперва рассчитаем математическое ожидание: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Тогда значение дисперсии: D(X) = 40.
Ещё одним из основных понятий статистики и теории вероятности является среднее квадратичное отклонение. Рассчитать его очень просто: нужно лишь взять корень квадратный из дисперсии.
Здесь же можно отметить такой простой термин, как размах. Это значение, обозначающее разницу между максимальным и минимальным значением в выборке.
Некоторые базовые школьные понятия используются в науке очень часто. Двумя из них являются среднее арифметическое и медиана. Наверняка вы помните, как найти их значения. Но на всякий случай напомним: среднее арифметическое - это сумма всех значений, деленная на их количество. Если значений 10, то мы их складываем и делим на 10.
Медиана - это центральное значение в ряду всех возможных. Если мы имеем нечетное количество величин, то мы выписываем их в порядке возрастания и выбираем то, которое оказалось в середине. Если же у нас четное число значений, мы берем два центральных и делим на два.
Ещё два значения, располагающиеся между медианой и двумя крайними - максимальным и минимальным - значениями множества, именуются квартилями. Вычисляются они таким же образом - при нечетном количестве элементов берется число, располагающееся в середине ряда, а при четном - половина суммы двух центральных элементов.
Существует и специальный график, на котором можно увидеть все значения выборки, её размах, медиану, межквартальный интервал, а также выбросы - значения, не укладывающиеся в статистическую погрешность. Получающееся изображение носит весьма специфическое (и даже нематематическое) название - «ящик с усами».
Распределение также относится к основным понятиям теории вероятности и математической статистики. Кратко говоря, оно представляет собой обобщенную информацию обо всех случайных величинах, которые мы можем увидеть в результате испытания. Главным параметром здесь будет вероятность появления каждого конкретного значения.
Нормальное распределение - это такое, которое имеет один центральный пик, в котором находится величина, встречающееся наиболее часто. От него дугами расходятся всё менее и менее вероятные исходы. В целом график со стороны похож на «горку». В дальнейшем вы узнаете, что с данным видом распределения теснейшим образом связана основополагающая для теории вероятности центральная предельная теорема. В ней описываются важные для рассматриваемого нами ответвления математики закономерности, очень полезные при разнообразных расчётах.
Но вернемся к теме. Существует ещё два вида распределений: ассиметричное и мультимодальное. Первое выглядит как половинка «нормального» графика, т. е. дуга спускается лишь в одну сторону от пиковой величины. Наконец, мультимодальное распределение - это такое, у которого существует несколько «верхних» значений. График, таким образом, то опускается, то поднимается. Наиболее частотное значение в любом распределении называется модой. Это также одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики.
Гауссово, или нормальное, распределение - такое, в котором отклонение наблюдений от среднего подчиняется определенному закону.
Кратко говоря, основной разброс значений выборки экспоненциально стремится к моде - самому частотному из них. Ещё говорить точнее, то 99,6 % всех величин располагается в пределах трёх стандартных отклонений (помните, мы рассматривали это понятие выше?).
Гауссово распределение - одно из основных понятий теории вероятности. При помощи него можно понять, входит ли элемент по тем или иным параметрам в разряд «типичных» - так оценивается рост и вес человека в соответствии с возрастом, уровень интеллектуального развития, психологическое состояние и многое другое.
Интересно, что «скучные» математические данные можно использовать с пользой для себя. Например, один молодой человек применил теорию вероятности и статистику, чтобы выиграть в рулетку несколько миллионов долларов. Правда, перед этим пришлось подготовиться - в течение нескольких месяцев записывать результаты игр в различных казино.
После проведения анализа он выяснил, что один из столов незначительно наклонен, а значит, ряд значений появляется статистически значимо чаще других. Немного расчётов, терпения - и вот владельцы заведения ломают головы, думая, как человеку может так повезти.
Есть целое множество повседневных бытовых задач, которые невозможно решить без обращения к статистике. Например, как определить, сколько магазину заказывать одежды разных размеров: S, M, L, XL? Для этого необходимо проанализировать, кто чаще покупает одежду в городе, в районе, в близлежащих магазинах. Если такую информацию не получить, владелец рискует потерять много денег.
Мы рассмотрели целое множество основных понятий теории вероятностей: испытание, событие, перестановки и размещения, математическое ожидание и дисперсия, мода и нормальное распределение… Кроме того, мы рассмотрели ряд формул, на изучение которых в высшем учебном заведении отводится больше месяца занятий.
Не забывайте: математика необходима при изучении экономики, естественных наук, информационных технологий, инженерных специальностей. Статистику как одну из её областей здесь также нельзя обходить стороной.
Теперь дело за малым: практикуйтесь, решайте задачи и примеры. Даже основные понятия и определения теории вероятности забудутся, если не уделять время повторению. Кроме того, последующие формулы в значительной степени будут опираться на те, которые были нами рассмотрены. Поэтому постарайтесь их запомнить, тем более что их не так и много.
Мама мыла раму
Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – . Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.
Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:
1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.
2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике
Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.
ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы , но это только местами.
Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (теорем-теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику. Ну, а кто хочет научиться решать задачи по теории вероятностей и математической статистике в самые короткие сроки , следуйте за мной!
Для начала хватит =)
По мере прочтения статей целесообразно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике будут размещаться соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также значительную помощь окажут ИДЗ 18.1 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).
1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны , последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .
Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие 
состоит в том, что произойдёт хотя бы одно
из событий 
, а если события несовместны
– то одно и только одно
событие из этой суммы: или
событие , или
событие , или
событие , или
событие , или
событие .
Примеров масса:
События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка .
Событие 
(будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или
2 или
4 или
6 очков.
Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или
бубна), а событие 
– в том, что будет извлечена «картинка» (валет или
дама или
король или
туз).
Чуть занятнее дело с совместными событиями:
Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).
Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий , а именно:
– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.
То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.
Второй столп алгебры событий:
2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .
Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.
Тогда:
и
на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и
на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и
на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и
на 2-й монете орёл.
Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет) . Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И , а сложение – ИЛИ . Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »
Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания , когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:
– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.
Тогда событие 
состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и
во 2-м броске выпадет 5 очков и
в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.
…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)
Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:
;
Геометрическое определение вероятности
;
Статистическое определение вероятности
.
В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.
Обозначения . Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:
Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей 
в пользу следующей стилистики::
– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.
Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.
Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:
Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:
– общее число всех равновозможных , элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий ;
– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .
При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу
, таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен
и равновозможен
. Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: 
.
Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: 
.ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО
(хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).
Принято использовать доли единицы , и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным , если – достоверным , а если , то речь идёт о случайном событии.
! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!
При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:
в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт .
Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. ...Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)
Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.
Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.
Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:
Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице . Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:
– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.
По теореме: 
Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы 
.
По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными . А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)
Пример с кубиком: события противоположны, поэтому 
.
Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:
Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
. Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.
! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.
В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:
– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?
Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками
.jpg)
