Движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух СО.
Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную»), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:
Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений . Например, переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.
Оказывается, что при получении связи ускорений в разных системах отсчёта возникает необходимость ввести ещё одно ускорение, обусловленное вращением подвижной системы отсчёта:
В дальнейшем рассмотрении, базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.
Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть
.Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений - относительного, переносного и кориолисова , то есть
.Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.
Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.
При рассмотрении движения в неинерциальной СО нарушаются первые 2 закона Ньютона. Чтобы обеспечить формальное их выполнение, обычно вводятся дополнительные, фиктивные (не существующие на самом деле), силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Выражения для этих сил получаются из связи ускорений (предыдущий раздел).
При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:
в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.
Однако вводится величина - быстрота - которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.
Направление полного ускорения определим по тангенсу угла α, который полное ускорение образует с нормальным ускорением (рис. 52). Получим
В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указанных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движение точки на ободе колеса является составным или сложным.
Введем следующие определения:
Переносным движением точки называется ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы координат .
Переносная скорость и переносное ускорение точки обозначается индексом е : , .
Переносной скоростью (ускорением ) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости (ускорению ) той точки m подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущая точка М (рис. 8.1).
Проведем радиус-вектор начала координат (рис. 8.1). Из рисунка видно, что
Чтобы найти переносную скорость точки в заданный момент времени необходимо продифференцировать радиус-вектор при условии, что координаты точки x, y, z не изменяются в данный момент времени:
Переносное ускорение соответственно равно
Таким образом для определения переносной скорости и переносного ускорения в данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точку m тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М , и вычислить скорость и ускорение точки m тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.
Сложным движением точки называется такое ее движение, при котором она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за неподвижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, совершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета ) и движения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета ).
Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением точки . Скорость и ускорение этого движения называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .
Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки .
Переносной скоростью ипереносным ускорением точкиназывают скорость и ускорение той, жестко связанной с подвижной системой координат точки, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .
Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным или сложным . Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютнойскоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .
В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.
§ 21. Определение скорости точки при сложном
движении
Пусть имеется неподвижная система отсчета по отношению к которой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движется точка (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом
где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно
неподвижной системы отсчета ;
Радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной
системы координат ;
Радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее
положение относительно подвижной системы координат.
Пустькоординаты точки в подвижных осях. Тогда
, (2.68)
где - единичные векторы, направленные вдоль подвижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), получим:
При относительном движении координаты изменяются с течением времени. Чтобы найти скорость относительного движения, нужно продифференцировать радиус-вектор по времени, учитывая его изменение только за счет относительного движения, то есть только за счет изменения координат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сделанных оговорок, получим относительную скорость.
Сложное движение точки
Основные понятия
Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга.
В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения.
Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга. Одну систему отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 примем за основную и неподвижную. Вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой.
Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие как, траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом r .
Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 называется абсолютным (или сложным). Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Их обозначают без индекса.
Переносным движением точки называется движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают индексом e .
Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке, то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения.
Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.
Сложение скоростей
Определим скорость абсолютного движения точки М, если известны скорости абсолютного и переносного движений этой точки.
За малый промежуток времени вдоль траектории точка М совершит относительное перемещение, определяемое вектором . Сама кривая , двигаясь вместе с подвижными осями, перейдет за тот же промежуток времени в новое положение Одновременно та точка кривой , с которой совпадала точка М, совершит переносное перемещение . В результате точка совершит перемещение .
Деля обе части равенства на и переходя к пределу, получим
Сложение ускорений при поступательном переносном движении.
Определим ускорение абсолютного движения точки в частном случае поступательного переносного движения.
Справедлива теорема . Если подвижная система отсчета движется поступательно относительно неподвижной , то все точки тела, скрепленного с этой системой, имеют одинаковые скорости и ускорения, равные скорости и ускорению начала координат подвижной системы О. Следовательно, для скорости и ускорения переносного движения имеем
Выразим относительную скорость в декартовых координатах
Подставляя в теорему о сложении скоростей значения переносной и относительной скоростей получаем
По определению 
СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки
В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указанных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движение точки на ободе колеса является составным или сложным.
Введем следующие определения:
1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис. 53) называется абсолютным.
2. Движение точки относительно подвижной системы координат O 1 ξηζ называется населенным.
3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О 1 ξηζ , относительно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.
Таким образом, переносное движение вызвано движением подвижной системы координат по отношению к неподвижной. В приведенном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О 1 ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.
Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив координаты точки х, у,z как функции времени:
х=х(t ), у = у(t ), z = z (t ).
Уравнения относительного движения точки имеют вид
ξ = ξ (t ), η = η (t), ζ = ζ (t ).
В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравнения абсолютной траектории, а уравнения (11.77) - соответственно уравнения относительной траектории.
Различают также абсолютную, переносную и относительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсолютную скорость обозначают υ a , относительную - υ r , переносную - υ е Соответственно ускорения обозначают: ω а , ω r и ω е .
Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и подвижной.
Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускорений в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.
Теорема о сложении скоростей
Теорема . При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ a равна векторной сумме относительной υ r и переносной υ е скоростей.
Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы координат Оξηζ через ω . Положение точки М определяется радиусом-вектором r .
Установим соотношение между скоростями точки М по отношению к двум системам координат - неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы
Из кинематики точки известно, что первая производная от радиуса-вектора движущейся точки по времени выражает скорость этой точки. Поэтому = r = υ а - абсолютная скорость, =υ r - относительная скорость,
а ω xr = υ е - переносная скорость точки М. Следовательно,
υ а = υ r + υ е
Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:
В некоторых задачах кинематики требуется определить относительную скорость υ r . Из (11.79) следует
υ r = υ а +(- υ е) .
Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с вектором, равным по абсолютной величине, но противоположно направленным переносной скорости.
Сложное движение точки
О движении тела судят по движению каждой его точки. Ранее мы рассматривали движение точки в некоторой системе координат, которая условно принималась за неподвижную. Однако на практике приходиться решать задачи, в которых известно, как движется точка относительно одной системы координат и требуется выяснить, как она движется относительно другой системы координат, если известно, как эти системы координат движутся друг относительно друга. Чтобы описывать движение точки, переходя от одной системы координат к другой, необходимо установить, как связаны между собой величины, характеризующие движение точки в этих системах. С этой целью одну систему координат принимают условно за неподвижную, а другую за подвижную и вводят понятия абсолютного, относительного и переносного движения точки.
Абсолютное движение – движение точки в неподвижной системе координат.
Относительное движение – движение точки в подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижного пространства относительно неподвижного.
Задачи, в которых задано переносное движение и нужно найти абсолютное движение, называются задачами на сложение движений .
В ряде случаев приходится решать обратную задачу.
Рациональным выбором подвижной системы координат – часто удаётся сложное абсолютное движение точки свести к двум простым: относительному и переносному. Такие задачи называются задачами на разложение движений .
неподвижной системе координат называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .
Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называют относительной скоростью и относительным ускорением .
Переносной скоростью и переносным ускорением движущейся точки называют абсолютную скорость и абсолютное ускорение той точки подвижного пространства , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.
Все полученные ранее результаты для скорости и ускорения полностью применимы к относительному движению, ибо при их выводе мы не накладываем никаких ограничений на выбор системы координат.
Закон сложения скоростей
Закон сложения скоростей определяет связь между скоростями точки М в неподвижной системе координат XYZ и подвижной системе координат https://pandia.ru/text/78/244/images/image002_52.jpg" width="588" height="243">
– закон сложения скоростей.
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Перейдём к рассмотрению движения абсолютно твёрдого тела (АТТ). Твёрдое тело состоит из бесконечного числа точек, однако, как будет показано позднее, для описания движения АТТ нет необходимости задавать движение каждой его точки.
Неизменность расстояния между точками твердого тела приводит к зависимости между скоростями отдельных точек. Эта зависимость выражается следующей основной теоремой кинематики твердого тела: проекции скоростей двух любых точек твердого тела на отрезок, их соединяющий, равны.
Для доказательства рассмотрим произвольные точки А и В твердого тела.
Положения точек А и В в пространстве зададим радиусами-векторами и https://pandia.ru/text/78/244/images/image007_36.gif" width="29" height="24 src=">, направление которого в процессе движения тела меняется, а модуль сохраняется постоянным (в силу неизменности расстояния между точками твердого тела). Данный вектор можно представить в виде . Дифференцируя это равенство по времени, получаем
. (2.1)
Для определения вектора заметим, что , где AB модуль вектора . Так как АВ не изменяется с течение времени, то, продифференцировав это равенство по t , получим:
,
т. е..gif" width="29" height="24 src="> направлена перпендикулярно к самому вектору :
Проектируя теперь каждую часть равенства (2..gif" width="37" height="24"> – пр.=0
,
что и доказывает сформулированную теорему.
Поступательное движение твёрдого тела
Рассмотрим вначале простые случаи движения – поступательное движение твёрдого тела и вращение твёрдого тела.
Простейшим видом движения твёрдого тела является такое движение, при котором векторы скорости трёх его точек, не лежащих на одной прямой, равны между собой в каждый момент времени. Определим положение этих точек в некоторый момент времени радиус-векторами:
https://pandia.ru/text/78/244/images/image020_14.gif" width="263 height=43" height="43">
Следовательно, векторы не зависят от времени и, следовательно, перемещаются в пространстве, оставаясь параллельными сами себе. Три точки твёрдого тела определяют систему координат, чётко связанную с твёрдым телом. В рассматриваемом случае движение будет таким, что оси будут перемещаться, оставаясь параллельными сами себе. Но это означает, что любая прямая, проведённая в твёрдом теле, остаётся в процессе движения параллельной самой себе. Такое движение называется поступательным (например, движение кабины в аттракционе «колесо обозрения»).
Выберем в твёрдом теле, движущимся поступательно, две произвольные точки А и В.
При поступательном движении АТТ
(2.2)
Поскольку 
то (2.2) примет вид:
Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: при поступательном движении все точки твёрдого тела имеют в каждый данный момент времени одинаковые векторы скорости.
Продифференцировав по времени уравнение (2..gif" width="56" height="24"> (2.4)
Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: точки твёрдого тела, движущегося поступательно, имеют в каждый данный момент времени одинаковые ускорения .
Т. к. , траектории точек А и В являются конгруэнтными, т. е. их. можно совместить друг с другом при наложении. Таким образом, траектории, описываемые точками твёрдого тела, движущегося поступательно, одинаковы и одинаково расположены.
Из полученных результатов следует сделать вывод: для описания поступательного движения твёрдого тела достаточно задать движение лишь одной его точки .
Вращение твердого тела
Вращением твёрдого тела называется такой вид движения, при котором, по крайней мере, одна точка твёрдого тела остаётся неподвижной. Рассмотрим, однако, более простой случай – вращение АТТ вокруг неподвижной оси.
Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси
Закрепим две точки АТТ:. Рассмотрим, как будут двигаться все точки твёрдого тела и научимся определять скорости и ускорения этих точек. Ясно, что точки твёрдого тела, лежащие на прямой, проходящей через две закреплённые точки, двигаться не будут: эту прямую называют неподвижной осью вращения . Движение твёрдого тела, при котором по крайней мере две его точки неподвижны, называют вращением АТТ вокруг неподвижной оси.
Ясно, что точки не лежащие на оси вращения описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Плоскости, в которых лежат такие окружности, перпендикулярны оси вращения. Следовательно: нам известны траектории всех точек тела. Это позволяет приступить к нахождению скорости любой точки твёрдого тела.
При естественном способе задания движения точки:
Выберем неподвижную систему отсчёта, ось 0
Z
которой совпадает с осью вращения. Угол между неподвижной плоскостью X0
Z
, проходящей через ось вращения и плоскостью, жёстко связанной с твёрдым телом и проходящей через ось вращения, обозначим через https://pandia.ru/text/78/244/images/image036_12.gif" width="73" height="31">. Рассмотрим движение точки М по окружности радиуса R.
; 
; https://pandia.ru/text/78/244/images/image040_13.gif" width="20" height="26 src="> являются постоянными:
Подставив (2.6) в (2.5) получим:
Эта формула неудобна, потому что сюда входит единичный вектор https://pandia.ru/text/78/244/images/image044_12.gif" width="14" height="18 src=">. Он должен входить в формулу для скорости. Для этого проведём следующие преобразования:
используя, что , перепишем соотношение (2.7) в виде
(2.8)
Обозначим:
– не зависит от выбора рассматриваемой точки М; (2.9)
– вектор, проведенный из центра окружности к точке М. (2.10)
Ясно, что модуль равен радиусу окружности.
Подставим (2.9) и (2.10) в (2.8):
https://pandia.ru/text/78/244/images/image051_11.gif" width="91" height="27"> (2.12)
Направления совпадают с направлением единичного вектора касания https://pandia.ru/text/78/244/images/image054_10.gif" width="64" height="29">– линейная скорость точки М. (2.13)
– угловая скорость. (2.14)
Угловая скорость – величина одинаковая для всех точек твердого тела.
Линейная скорость любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости АТТ на радиус-вектор, проведённый из произвольной точки оси вращения, разложим https://pandia.ru/text/78/244/images/image057_9.gif" width="145" height="29">. (2.15)
Сравнивая (2.15) и (2.14) получим:
;
Модуль угловой скорости связан с частотой вращения абсолютно твердого тела:
При вращении тела его угловая скорость может изменяться, необходимо уметь определить угловую скорость тела в любой момент времени. Для этого введена величина, которая характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Эту величину называют угловым ускорением.
Дадим определение углового ускорения.
Пусть в момент времени t угловая скорость . А в момент времени t+∆ t угловая скорость равна . Составим отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение происходит, и найдём предел этого отношения при ∆ t → 0. В механике этот предел называют угловым ускорением тела и обозначают поэтому:
.
Угловое ускорение – величина одинаковая для всех точек твердого тела.
Единицей измерения углового ускорения является https://pandia.ru/text/78/244/images/image068_7.gif" width="273" height="48">.
Для углового ускорения, его проекции на ось 0 Z , модуля углового ускорения справедливы соотношения:
(2.16)
Перепишем выражение для ускорения точки:
(2.17)
Тангенциальное ускорение любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус – вектор этой точки, проведённой из произвольной точки оси вращения.
Вращение твёрдого тела с постоянным угловым ускорением
Посмотрим, как при этом движении запишется кинематическое уравнение движения тела. Вначале получим формулу, по которой в данном случае можно найти угловую скорость тела. Направим ось 0 Z вдоль оси вращения тела.
Так как , то https://pandia.ru/text/78/244/images/image078_5.gif" width="98" height="54"> (т. к. ) Вращательные движения (физика)" href="/text/category/vrashatelmznie_dvizheniya__fizika_/" rel="bookmark">вращательного движения вокруг полюса с угловой скоростью, не зависящей от выбора полюса .
Можно показать, что скорость любой точки тела относительно неподвижной системы координат равна:
– угловое ускорение вращения тела относительно полюса.
Закон сложения ускорений
Формулу, выражающую закон сложения ускорений в сложном движении называют формулой Кориолиса, а выражаемый ею факт – теоремой Кориолиса. Согласно этой теореме абсолютное ускорение точки равно сумме трёх векторов: вектора относительного ускорения, вектора переносного ускорения и вектора, представляющего собой поворотное или кориолисово ускорение:
(2.21)
Оно появляется вследствие двух причин, не учитываемых относительным и переносным ускорениями: не учитывает изменение направления относительной скорости в неподвижном пространстве вследствие вращения подвижной системы координат в переносном движении. не учитывает изменения переносной скорости, получающегося при переходе движущейся точки от одной точки подвижного пространства к другой (этот переход вызван относительным движением).
В следующих случаях:
.jpg)
