Величина - одно из основных математических понятий, возникшее в древности и подвергшееся в процессе длительного развития ряду обобщений.
Первоначальное представление о величине связано с созданием чувственной основы, формированием представлений о размерах предметов: показать и назвать длину, ширину, высоту.
Под величиной понимаются особые свойства реальных объектов или явлений окружающего мира. Величина предмета - это его относительная характеристика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных.
Величины, характеризующиеся только числовым значением, называют скалярными (длина, масса, время, объем, площадь и др.). Кроме скалярных величин в математике рассматривают еще векторные величины, которые характеризуются не только числом, но и направлением (сила, ускорение, напряженность электрического поля и др.).
Скалярные величины могут быть однородными или разнородными. Однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества. Разнородные величины выражают различные свойства объектов (длина и площадь)
Свойства скалярных величин:
Величина является свойством предмета, воспринимаемым разными анализаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаще всего величина воспринимается одновременно несколькими анализаторами: зрительно-двигательным, тактильно-двигательным и т.д.
Восприятие величины зависит от:
Основные свойства величины:
Физической величиной называется физическое свойство материального объекта, процесса, физического явления, охарактеризованное количественно.
Значение физической величины выражается одним или несколькими числами, характеризующими эту физическую величину, с указанием единицы измерения.
Размером физической величины являются значения чисел, фигурирующих в значении физической величины.
Единицей измерения физической величины является величина фиксированного размера, которой присвоено числовое значение, равное единице. Применяется для количественного выражения однородных с ней физических величин. Системой единиц физических величин называют совокупность основных и производных единиц, основанную на некоторой системе величин.
Широкое распространение получило всего лишь некоторое количество систем единиц. В большинстве случаев во многих странах пользуются метрической системой.
Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой такой же физической величиной, принятой за единицу.
Длину предмета сравнивают с единицей длины, массу тела - с единицей веса и т.д. Но если один исследователь измерит длину в саженях, а другой в футах, им будет трудно сравнить эти две величины. Поэтому все физические величины во всем мире принято измерять в одних и тех же единицах. В 1963 году была принята Международная система единиц СИ (System international - SI).
Для каждой физической величины в системе единиц должна быть предусмотрена соответствующая единица измерения. Эталоном единицы измерения является ее физическая реализация.
Эталоном длины является метр - расстояние между двумя штрихами, нанесенными на стержне особой формы, изготовленном из сплава платины и иридия.
Эталоном времени служит продолжительность какого-либо правильно повторяющегося процесса, в качестве которого выбрано движение Земли вокруг Солнца: один оборот Земля совершает за год. Но за единицу времени принимают не год, а секунду .
За единицу скорости принимают скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором тело за 1 с совершает перемещение в 1 м.
Отдельная единица измерения используется для площади, объема, длины и т. д. Каждая единица определяется при выборе того или иного эталона. Но система единиц значительно удобнее, если в ней в качестве основных выбрано всего несколько единиц, а остальные определяются через основные. Например, если единицей длины является метр, то единицей площади будет квадратный метр, объема - кубический метр, скорости - метр в секунду и т. д.
Основными единицами физических величин в Международной системе единиц (СИ) являются: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), ампер (А), кельвин (К), кандела (кд) и моль (моль).
|
Основные единицы СИ |
|||
|
Величина |
Единица |
Обозначение |
|
|
Наименование |
русское |
международное |
|
|
Сила электрического тока |
|||
|
Термодинамическая температура |
|||
|
Сила света |
|||
|
Количество вещества |
|||
Существуют также производные единицы СИ, у которых есть собственные наименования:
|
Производные единицы СИ, имеющие собственные наименования |
||||
|
Единица |
Выражение производной единицы |
|||
|
Величина |
Наименование |
Обозначение |
Через другие единицы СИ |
Через основные и дополнительные единицы СИ |
|
Давление |
м -1 ЧкгЧс -2 |
|||
|
Энергия, работа, количество теплоты |
м 2 ЧкгЧс -2 |
|||
|
Мощность, поток энергии |
м 2 ЧкгЧс -3 |
|||
|
Количество электричества, электрическийзаряд |
||||
|
Электрическое напряжение, электрическийпотенциал |
м 2 ЧкгЧс -3 ЧА -1 |
|||
|
Электрическая емкость |
м -2 Чкг -1 Чс 4 ЧА 2 |
|||
|
Электрическое сопротивление |
м 2 ЧкгЧс -3 ЧА -2 |
|||
|
Электрическая проводимость |
м -2 Чкг -1 Чс 3 ЧА 2 |
|||
|
Поток магнитной индукции |
м 2 ЧкгЧс -2 ЧА -1 |
|||
|
Магнитная индукция |
кгЧс -2 ЧА -1 |
|||
|
Индуктивность |
м 2 ЧкгЧс -2 ЧА -2 |
|||
|
Световой поток |
||||
|
Освещенность |
м 2 ЧкдЧср |
|||
|
Активность радиоактивного источника |
беккерель |
|||
|
Поглощенная доза излучения |
||||
И змерения . Для получения точного, объективного и легко воспроизводимого описания физической величины используют измерения. Без измерений физическую величину нельзя охарактеризовать количественно. Такие определения, как «низкое» или «высокое» давление, «низкая» или «высокая» температура отражают лищь субъективные мнения и не содержат сравнения с эталонными величинами. При измерении физической величины ей приписывают некоторое численное значение.
Измерения осуществляются с помощью измерительных приборов. Существует довольно большое количество измерительных приборов и приспособлений, от самых простых до сложных. Например, длину измеряют линейкой или рулеткой, температуру - термометром, ширину - кронциркулем.
Измерительные приборы классифицируются: по способу представления информации (показывающие или регистрирующие), по методу измерений (прямого действия и сравнения), по форме представлений показаний (аналоговый и цифровой), и др.
Для измерительных приборов характерны следующие параметры:
Диапазон измерений - область значений измеряемой величины, на которой рассчитан прибор при его нормальном функционировании (с заданной точностью измерения).
Порог чувствительности - минимальное (пороговое) значение измеряемой величины, различаемое прибором.
Чувствительность - связывает значение измеряемого параметра и соответствующее ему изменение показаний прибора.
Точность - способность прибора указывать истинное значение измеряемого показателя.
Стабильность - способность прибора поддерживать заданную точность измерений в течение определенного времени после калибровки.
Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т. п. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения физических тел или др. объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину , если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму .
В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных величин (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение порядка : две величины а и b одного и того же рода или совпадают (а = b) , или первая меньше второй (а < b ), или вторая меньше первой (b < a ). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода величины смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение а < b и операция а + b = с обладают следующими свойствами:
Если взять какую-либо длину l за единичную, то система s" всех длин, находящихся в рациональном отношении к l , удовлетворяет требованиям 1-9. Существование несоизмеримых (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины) отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s" ещё не охватывает системы s всех вообще длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к требованиям 1-9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:
10) Если последовательности величин a1
Свойства 1-10 и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных величин. Если в такой системе выбрать какую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде а = al , где а - положительное действительное число.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Сущ., ж., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? величины, чему? величине, (вижу) что? величину, чем? величиной, о чём? о величине; мн. что? величины, (нет) чего? величин, чему? величинам, (вижу) что? величины, чем? величинами, о чём? о… … Толковый словарь Дмитриева
ВЕЛИЧИНА, величины, мн. величины, величинам (книжн.), и (разг.) величины, величинам, жен. 1. только ед. Размер, объем, протяжение вещи. Величина стола достаточная. Комната громадной величины. 2. Всё, что можно измерить и исчислить (мат. физ.).… … Толковый словарь Ушакова
Размер, формат, калибр, доза, рост, объем, протяжение. Ср … Словарь синонимов
Ы; мн. чины; ж. 1. только ед. Размер (объём, площадь, протяжённость и т.п.) какого л. объекта, предмета, имеющего видимые физические границы. В. здания. В. стадиона. Величиной с булавку. Величиной в ладонь. Отверстие большей величины. В… … Энциклопедический словарь
величина - ВЕЛИЧИНА1, ы, ж Разг. О человеке, выделяющемся среди других, выдающемся в какой л. области деятельности. Н. Коляда крупная величина в современной драматургии. ВЕЛИЧИНА2, ы, мн величины, ж Размер (объем, протяженность, площадь) предмета, который… … Толковый словарь русских существительных
Современная энциклопедия
ВЕЛИЧИНА, ы, мн. ины, ин, жен. 1. Размер, объём, протяжённость предмета. Площадь большой величины. Измерить величину чего н. 2. То, что можно измерить, исчислить. Равные величины. 3. О человеке, выдающемся в какой н. области деятельности. Этот… … Толковый словарь Ожегова
величина - ВЕЛИЧИНА, размер, размеры … Словарь-тезаурус синонимов русской речи
Величина - ВЕЛИЧИНА, обобщение конкретных понятий: длины, площади, веса и т.д. Выбор одной из величин данного рода (единицы измерения) позволяет сравнивать (соизмерять) величины. Развитие понятия величина привело к скалярным величинам, характеризующимся… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Из курса математики нам известны действия, которые можно производить над числами. Складывать, вычитать и сравнивать в математике можно любые числа. Такие действия над физическими величинами можно производить только в том случае, если они однородны, т. е. представляют одну и ту же физическую величину.
Например:
4 м + 3 м = 7 м;
9 кг - 5 кг = 4 кг;
30 с > 10 с.
Во всех трех случаях мы производили действия над однородными физическими величинами. Складывали длину с длиной, вычитали из массы массу, сравнивали промежуток времени с промежутком времени. Смешно и нелепо было бы складывать 4 м и 5 кг или вычитать 30 с из 9 кг!
А вот умножать и делить можно не только однородные, но и разные физические величины. Например:
Подумайте и ответьте
Интересно знать!
Большие единицы времени - год и сутки - дала нам сама природа. Но час, минута и секунда появились благодаря человеку.
Принятое в настоящее время деление суток восходит к глубокой древности. В Вавилоне применялась не десятичная, а шестидесятеричная система счисления. Шестьдесят делится без остатка на 12, отсюда у вавилонян деление суток на 12 равных частей. В Древнем Египте было введено деление суток на 24 часа. Позже появились минуты и секунды. То, что в 1 часе 60 минут, а в 1 минуте 60 секунд, - также наследие шестидесятеричной системы Вавилона.
Определение единиц времени является очень важным. Основная единица времени - секунда - сначала была введена как 1/86400 доля суток, а затем из-за непостоянства суток - как определенная доля года. В настоящее время эталон секунды связан с частотой излучения атомов цезия.
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того, знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.
По традиционной программе в конце 4 класса дети должны:
Знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и уметь применять эти знания в практике измерения и при решении задач,
Знать взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость товара; скорость, время, расстояние, уметь применять эти знания к решению текстовых задач,
Уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата).
ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЁ ИЗМЕРЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Одна из особенностей окружающей нас действительности – это ее многообразное и беспрерывное изменение. Например, меняется погода, возраст людей, условия их жизни. Чтобы дать научное обоснование этим процессам, нужно знать их определение, свойства, качества, такие. Как время, площадь, масса… Эти и другие свойства называют величинами.
В соответствии с определением Н.Б. Истоминой:
Во-первых, величина - это некоторое свойство предметов.
Во-вторых, величина - это такое свойство предметов, которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим свойством в равной мере.
В-третьих, величина - это такое свойство, которое позволяет сравнивать предметы и устанавливать, какой из них обладает данным свойством в большей мере.
Величины бывают однородные и разнородные. Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами . Например, длина стола и длина комнаты - это однородные величины. Разнородные величины выражают разные свойства объектов (например, длина и площадь).
Однородные величины обладают рядом свойств .
1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше», и для любых величин справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.
2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b . Например, если a - длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС есть сумма длин отрезков АВ и ВС;
3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b=x * а, величину b называют произведением величины а на число x . Например, если a – длину отрезка АВ, умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС.
4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с , что а=b+c. Например, если а - длина отрезка АС, b - длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.
5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b называется такое неотрицательное действительное число х , что
а= х*b. Чаще это число называют отношением величин а и b и записывают в таком виде:
6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2, площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.
Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.
Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей - другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.
Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e , то в результате измерения величины а находят такое действительное число x , что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).
Согласно определению, любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7*1 кг, 12 см =12*1 см, 15ч =15*1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как 5/12 ч = 5/12*60 мин = (5/12*60) мин = 25 мин.
Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами . Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины . Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.
В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.
