Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая:
Прямые совпадают;
Прямые параллельны (но не совпадают);
Прямые пересекаются;
Прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.
Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уравнениями и общими уравнениями . Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями:
L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1 , L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)
Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 и координаты направляющих векторов s 1 = {l 1 ; m 1 ; n 1 } для L 1 , s 2 = {l 2 ; m 2 ; n 2 } для L 2 .
Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы s 1 и s 2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов:
l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2 . (6.10)
Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор M 1 M 2 :
(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1 . (6.11)
Это двойное равенство также означает, что точка М 2 принадлежит прямой L 1 . Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (6.10) и (6.11) одновременно.
Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлинеарны, т.е. условие (6.10) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы s 1 , s 2 и M 1 M 2 являются компланарными определителя третьего порядка , составленного из их координат (см. 3.2):
Условие (6.12) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при Δ ≠ 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.
Сведем все условия воедино:
Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (6.13). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения n 1 × n 2 и n 3 × n 4 , где n i = {A i ; B i ; C i }, i = 1, 2, 3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся.
Пример 6.4.
Направляющий вектор s 1 прямой L 1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: s 1 = {1; 3; -2}. Направляющий вектор s 2 прямой L 2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является:
Поскольку s 1 = -s 2 , то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общие уравнения прямой L 2 . Для первого из них получаем 1 = 0. Следовательно, точка М 0 не принадлежит прямой L 2 и рассматриваемые прямые параллельны.
Угол между прямыми . Угол между двумя прямыми можно найти, используя направляющие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 6.5) или является дополнительным к нему, если угол между направляющими векторами тупой. Таким образом, если для прямых L 1 и L 2 известны их направляющие векторы s x и s 2 , то острый угол φ между этими прямыми определяется через скалярное произведение:
cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |
Например, пусть s i = {l i ; m i ; n i }, i = 1, 2. Используя формулы (2.9) и (2.14) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем
Прямые линии и организация пространства
Прямые линии – простой, но оченьЕсли прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны .
Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, которые являются проекциями точки пересечения этих прямых.
Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой, хотя проекции их могут пересекаться или быть параллельными.
Точки пересечения этих проекций не лежат на одной линии связи. Одной точке 1 v соответствуют две точки 1 н и 1" н . Эти точки лежат на одном перпендикуляре к плоскости V (Рис.2.9а, б, в).
Рис. 2.9. Взаимное положение отрезков на эпюре:
Точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими относительно этой плоскости (Рис.2.10а, б).
По конкурирующим точкам определяется видимость геометрических образов на эпюре. Видимой на данной проекции всегда будет та из конкурирующих точек, которая лежит дальше от этой плоскости проекций, следовательно, ближе к зрителю. Точки А и В являются фронтально конкурирующими. На фронтальной плоскости проекции будет видима точка А , т.к. она дальше от плоскости V и ближе к наблюдателю. Точки А и С – горизонтально конкурирующие. На горизонтальной плоскости проекций будет видима также точка А , т.к. она отстоит от плоскости Н дальше, чем точка С .
Рис. 2.10. Конкурирующие точки: а) в диметрии; б) на эпюре
Две пересекающиеся прямые образуют плоский угол.
Если угол расположен в плоскости, параллельной плоскости проекций, то он проецируется на нее в натуральную величину.
В общем случае плоский угол, стороны которого не параллельны плоскости проекций, проецируется на эту плоскость с искажением.
Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций , а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).
Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:
Доказательство : Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н . Тогда имеем: ВАС = 90˚; АВ || Н ; АА н Н . Докажем, что В н А н С н = 90º (Рис.2.12). А н АВ = 90°, т.к. фигура АА н ВВ н – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВ АС ; АВ АА н ). Поэтому АВ Q , но А н В н || АВ отсюда и А н В н Q , а это означает, что В н А н С н = 90º.
Задача: Определить расстояние от точки А до фронтали (Рис.2.13).
Решение . Прямой угол между искомым перпендикуляром и фронталью ВС проецируется в натуральную величину на плоскость V . Натуральная величина перпендикуляра АК может быть найдена методом прямоугольного треугольника.
Рис. 2.13. Определение расстояния от точки А до фронтали ВС
«Заболевания передаваемые половым путем» - Предназначено для студентов лечебного, педиатрического, военно-медицинского, стоматологического факультетов. Материалы предназначены для дерматовенерологов, клинических микробиологов, урологов, акушеров-гинекологов. Адресованы студентам всех специальностей вузов для самостоятельной подготовки к занятиям.
«Болезни передающиеся половым путем» - Болезни, передаваемые половым путем. Больной сифилисом на 3 стадии заболевания. Твердый шанкр. Болезни, передаваемые половым путем (БППП), по традиции называются еще венерическими заболеваниями. Профилактика заболеваний, передаваемых половым путем. Симптомы сифилиса Симптомы вторичного сифилиса дают о себе знать через 6-8 недель.
«Использование ИКТ в учебном процессе» - Основные направления использования ИКТ в учебном процессе. 1) Уверенно и регулярно используют ИКТ – 30% педагогов. 2) Могут сделать поурочное планирование с использованием ИКТ – 60% . 3) Подготовить урок с использованием ИКТ учениками – 50%. 4) Подобрать программное обеспечение для учебных целей – 60%. 5) Найти учебные материалы – 70%. 6) Использование ИКТ для мониторинга развития ученика – 40%. 7) Использование ИКТ для объяснения на уроке – 40%.
«Использование ресурсов» - Направления совершенствования Каталога 1. Увеличение перечня учебных дисциплин, дальнейшая градация на более мелкие подразделы 2. Введение дополнительных критериев структуризации (например, объединение ссылок на ресурсы по типам - тренажеры, игры и т.п.), 3. Увеличение числа ссылок на методические, технологические и технические руководства 4. Более детальное описание методов обучения с использованием образовательных ресурсов.
«Использование технологий» - Радиосвязью называется передача информации с помощью радиоволн – электромагнитных волн, частоты которых охватывают широкий диапазон от 30000 до 300000000000 Гц. Принципы радиосвязи. Демодуляция – процесс обратный модуляции. Использование современных образовательных технологий в практике обучения является обязательным условием интеллектуального, творческого и нравственного развития учащихся.
«Композиция» - Основные варианты разбивки заголовка. Единство. Вариант разбивки большого заголовка. В отличие от линии и полоски строка имеет смысл, т. е. несет информацию. 1.Выполнение задания возможно в программе Word или Paint. Любая буква или иероглиф прежде всего изображение. Форма. Зависимость ритмического строя от величины межбуквенных пробелов.
Прямые линии и организация пространства
Прямые линии – простой, но очень
